Газопроводные системы представляют собой экологически опасные объекты, количественная оценка нагруженности и надежности магистральных газопроводов – актуальная задача, решение которой позволит оценить фактические риски при их эксплуатации.
В существующей нормативной базе описаны способы определения работоспособности газопроводов на стадии проектирования и эксплуатации, основанные на расчете вероятности их безотказной работы или коэффициента запаса прочности в предположении, что функции плотности распределения напряжений, возникающих в трубе газопровода при функционировании, и предельных напряжений, допускаемых материалом трубы, подчиняются законам, разработанным в теории параметрической статистики (как правило, нормальному закону). Однако на основании анализа массива данных о действующих в газопроводах напряжениях и результатов механических испытаний материала труб можно утверждать, что при расчете прочностной надежности газопровода отнести выборки случайных величин фактических и предельных напряжений к какому либо параметрическому закону не представляется возможным.
Повысить достоверность оценки прочностной надежности газопроводов в условиях реальных спектров воздействия внешних нагрузок и естественных законов изменения предельного состояния материала можно с помощью методов непараметрической статистики, позволяющих восстанавливать неизвестную функцию плотности распределения случайных величин независимо от ее сложности. В процессе реализации этих методов неизвестная функция плотности распределения представляет собой результат работы программы, использующей исходную выборку случайных величин.
В статье предложен метод оценки вероятности отказа трубопровода, основанный на аппарате непараметрической статистики и позволяющий фактическую функцию плотности распределения механических свойств материала труб представить не в виде программной реализации, а описать конечным выражением. Метод верифицирован путем обработки экспериментальных данных о пределе текучести образцов из стали 17Г1С с использованием оценок Парзена – Розенблатта и сопоставления результатов расчета вероятности отказа линейного участка магистрального газопровода, функция плотности распределения предельных напряжений материала которого восстановлена известным и предлагаемым методами.
В качестве примера рассчитаны величины вероятности отказа участка газопровода, напряжения в трубе которого в процессе эксплуатации не подчиняются нормальному закону и восстановлены методами непараметрической статистики. Показано, что использование для описания предела текучести фактических законов его распределения повышает оценку вероятности отказа более чем в три раза для трубы Челябинского трубопрокатного завода и до восьми раз – для трубы Харцызского трубного завода.
HTML
Определение прочностной надежности газопроводов – важный этап оценки их технического состояния в процессе эксплуатации. Критерии, которые в настоящее время принято использовать для расчета прочностной надежности изделий, – вероятность безотказной работы [1] или квантильные оценки коэффициента запаса прочности [2, 3]. В этих критериях учтены возникающие в процессе эксплуатации трубопроводов напряжения в трубе и предельные напряжения (пределы текучести, прочности, выносливости), отражающие механические свойства материала. При расчете прочности газопровода величины , s принимаются детерминированными, для надежности – случайными, функции плотности распределения которых получены в теории вероятности и с точностью до параметров считаются известными [4].
В общем случае для любого вида f(), fs(s) задача оценки вероятности безотказной работы или отказа сводится к вычислению интегралов [2]:
, (1)
. (2)
В [5] для различного вида функций f(), fs(s), разработанных в теории параметрической статистики, получены зависимости, описывающие R. На практике при определении надежности трубопроводов, как правило, применяются методики, в которых для f(), fs(s) принят нормальный закон распределения [4, 6]. Однако на основании результатов обработки фактических данных о величине напряжений, возникающих в трубе при эксплуатации газопроводов, можно утверждать [1, 2], что подчинение этих функций закону нормального распределения – исключение; в общем случае распределения действующих напряжений подчиняются законам, разработанным в рамках параметрической статистики [5], и описаны быть не могут. Вследствие этого возникает неопределенность при оценке достоверности результатов расчета прочностной надежности трубопроводов.
Аналогичная ситуация имеет место и в случае принятия нормального закона при оценке предельных напряжений. Например, в [7] показано, что вероятность отказа трубопровода при учете фактического, а не нормального закона распределения предельных напряжений для одной и той же стали, выпускаемой различными предприятиями, отличается на порядок.
Эффективное направление поиска способов повышения достоверности результатов расчета прочностной надежности изделий – отказ от описания f(), fs(s) и переход к их восстановлению на основе имеющихся выборок случайных величин i и sj методами непараметрической статистики [8, 9]. Основные положения данного направления в комплексе сформулированы в [1]. Оно получило развитие для магистральных трубопроводов [2, 3, 10, 11], деталей общепромышленного применения [12], обработки экспериментальных данных усталостных испытаний [13].
В отличие от методов параметрической статистики, описывающих законы случайных величин в виде аналитических функций, для реализации методов непараметрической статистики необходимы электронно-вычислительные машины, быстродействие и объем памяти которых позволяют решать задачи в режиме реального времени.
В теории непараметрической статистики разработаны две принципиально различные процедуры восстановления неизвестной функции плотности распределения случайной величины с заданной выборкой ее значений.
Первая процедура основана на использовании оценок Парзена – Розенблатта, согласно которым f(x) описывается зависимостью [1]:
. (3)
Оптимальное значение параметра hn соответствует максимуму информационного функционала [1, 2]:
J = ∫ln(K(x))f(x)dx. (4)
К настоящему времени предложено около двух десятков K() [1, 2, 15], среди которых наибольшее распространение при решении задач надежности получила функция с нормальным ядром:
. (5)
Для (5) близкое к оптимальному значение hn рассчитывается по зависимости:
. (6)
Оптимальная величина определяется в результате поиска максимума функционала (4), в развернутой форме имеющего вид:
. (7)
В общем случае для ответственных задач среди известных ядерных функций целесообразно выбирать ту, у которой величина информационного функционала (4) максимальна.
На основании анализа накопленного опыта решения задач прочностной надежности на базе зависимостей (3), (5)–(7) [1–3, 7, 12, 14] можно утверждать, что данная процедура обеспечивает достаточную точность восстановления неизвестной функции f(x), в том числе и на основе выборок xi ограниченной длины. Однако, несмотря на универсальность и высокую эффективность, она имеет серьезный недостаток: f(x) не описывается в явном виде, как это выполняется для законов случайных величин в теории параметрической статистики. Неизвестную функцию можно использовать только совместно с массивом данных xi, i = . Особенно негативно это сказывается при восстановлении функции предельных напряжений задачи (1), (2). Действительно, если fs(s) подчиняется нормальному закону распределения, достаточно знать его параметры и Ss. Для представления fs(s) в виде (3) при расчетах по формулам (1), (2) надежности изготовленных из одного и того же материала различных деталей, элементов оборудования, газопроводов необходимо постоянно хранить выборку sj, j = .
Вторая процедура восстановления неизвестной функции плотности случайной величины по имеющейся выборке ее значений основана на реализации метода структурной минимизации риска [16]. Этот метод разработан для решения некорректной задачи интерпретации результатов косвенных экспериментов. Оценкой fM(t) искомой функции f(x) становится функция:
fM(t) = jj(t), (8)
где величины неизвестных коэффициентов разложения j при каждом фиксированном значении M определяются из условия, что fM(t) непрерывна и сосредоточена на отрезке t [0;1]:
. (9)
При решении задачи восстановления неизвестной функции плотности распределения вероятности случайной величины t j(t) принимаются в виде:
. (10)
Значения ti, i = рассчитываются на основе имеющейся выборки xi, i = по формуле:
. (11)
Математические зависимости и программа, реализующие решение задачи восстановления неизвестной функции плотности fM(t) случайной величины x, заданной конечной выборкой ее значений, представлены в [1]. Процедура восстановления функции f(x) методом структурной минимизации риска существенно более сложна, чем использование оценок Парзена – Розенблатта, и даже при наличии программной реализации этого подхода [1, 16] требует высокой квалификации специалиста, выполняющего обработку экспериментальных данных. В то же время, если функция плотности распределения f(x) применяется для решения различных прикладных задач, ее аналитическая форма (8) имеет важнейшее значение.
В настоящей работе поставлена задача определить f(x) с учетом (9), (11) в виде (8) при условии, что она известна в форме (3). Задача сводится к разработке алгоритма расчета коэффициентов разложения j, позволяющих описать искомую функцию в виде конечного аналитического выражения и использовать ее при решении различных задач надежности.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
По условию задачи на основе выборки случайной величины xi восстановлена неизвестная функция плотности ее распределения f(x) (3). Для K() с нормальным ядром (5) справедливо:
, (12)
где оптимальная величина параметра размытости (ширина окна Парзена – Розенблатта) рассчитана по зависимости (6).
Воспользовавшись (12), для ряда заданных квантилей j [0; 1], j = путем решения уравнения:
(13)
можно установить совокупность квантильных значений случайной величины x.
Оценка функции плотности распределения f(x) (8) с учетом (10) описывается зависимостью:
. (14)
Квантильные значения tj случайной величины t для j [0;1], с учетом (14) представляют собой решения следующих M уравнений:
, (15)
которые содержат как неизвестные коэффициенты разложения j, j = , так и квантили tj случайной величины t.
В качестве условия идентичности функций плотности распределения случайной величины, восстановленных методом эмпирического риска и на основе оценки Парзена – Розенблатта, можно принять совпадение квантильных оценок, рассчитанных по обеим функциям. Поскольку квантильные значения xj известны, tj можно рассчитать по формуле:
. (16)
В результате система M уравнений (15) будет содержать M неизвестных j, j = .
После взятия интегралов (15) преобразуется в систему линейных относительно j, j = уравнений:
, (17)
для решения которой можно использовать стандартные подпрограммы (например, в вычислительной среде Mathcad).
Найденные значения коэффициентов разложения j, j = полностью идентифицируют (14). После перехода к размерной величине x справедливо:
. (18)
Поскольку параметры fM(x) (18) определены на конечном числе точек совпадения с f(x) (12), функция плотности:
FM(x) = fM(x)dx (19)
будет отличаться от функции плотности:
F(x) = f(x)dx. (20)
Чтобы предотвратить отклонения fM(x), следует осуществить ее нормировку:
. (21)
По условиям определения параметров функции плотности распределения fM(x) в виде (21) она цензурирована слева (Ax ≤ x) и справа (x ≤ Bx) в соответствии с диапазоном изменения случайной величины x [Ax; Bx] и применима только в пределах этого диапазона.
Разработанный алгоритм позволяет по известной функции плотности распределения, полученной в результате обработки экспериментальных данных простым в реализации методом Парзена – Розенблатта, описать эту же функцию в виде ограниченного ряда конечных аналитических выражений и разработать методическое обеспечение процедур решения различных прикладных задач. При этом исключается необходимость хранения исходных экспериментальных данных в процессе реализации методик решения задач, связанных с использованием случайных величин.
ПРИМЕР РАСЧЕТА
В работах [7, 14] представлены результаты обработки данных испытаний 116 образцов, вырезанных из изготовленной на Харцызском трубном заводе (ТЗ) стали 17Г1С, и 77 образцов из стали той же марки, изготовленной на Челябинском трубопрокатном заводе (ТПЗ) (рис. 1).
Для трубы Харцызского ТЗ на основании вида fT (T) путем решения (13) с 1 = 0,010; 2 = 0,050; 3 = 0,100; 4 = 0,200; 5 = 0,500 определены значения x1 = 350,840; x2 = 366,637; x3 = 374,763; x4 = 381,299; x5 = 391,987. Искомые коэффициенты разложения (21) получены из системы пяти линейных уравнений (17): 1 = 1,014 41; 2 = –1,314 1; 3 = 0,354 32; 4 = 0,237 55; 5 = –0,119 16. Коэффициент SF выражения (21) имеет значение 0,940 52.
В результате аналогичных расчетов для трубы Челябинского ТПЗ при 1 = 0,030; 2 = 0,300; 3 = 0,500; 4 = 0,700; 5 = 0,950 определены величины x1 = 342,935; x2 = 387,969; x3 = 408,047; x4 = 424,096; x5 = 455,334 и установлены значения коэффициентов разложения 1 = 1,358 29; 2 = –0,721 75; 3 = –0,178 41; 4 = 0,263 29; 5 = –0,138 48 функции (21); SF равен 0,961 42.
В итоге реализации предложенной процедуры описаны функции плотности распределения предела текучести трубной стали 17Г1С, изготовленной на Харцызском ТЗ (Ax = 346,8) ≤ T ≤ (Bx = 416,4):
, (22)
где 1 = 1,014 41; 2 = –1,314 10; 3 = 0,354 32; 4 = 0,237 55; 5 = –0,119 16, и Челябинском ТПЗ (Ax = 335,6 ≤ T ≤ Bx = = 479,7):
, (23)
где 1 = 1,358 29; 2 = –0,721 75; 3 = –0,178 41; 4 = 0,263 29; 5 = –0,138 48.
Оценка достоверности полученных результатов проведена на примере решения задачи определения вероятности отказа участка газопровода, имеющего коррозионный дефект. Использованы данные, полученные при ежедневном измерении в течение года давления и температуры в трубопроводе (рис. 2). Зная наружный диаметр трубы и толщину ее стенки, по известным зависимостям [2, 4] можно рассчитать напряжения i, возникающие в стенке трубы при наличии коррозионного дефекта (рис. 3).
Расчеты вероятности отказа для труб Харцызского ТЗ и Челябинского ТПЗ выполнены с использованием (1), (2) для трех случаев описания функции плотности распределения предела текучести: по нормальному закону, законам fT(T) и fM(T). В [7] приведены параметры распределения предела текучести по нормальному закону: = 395, ST = 14 (Харцызский ТЗ); = 411, ST = 28 (Челябинский ТПЗ).
На основании анализа результатов расчета можно утверждать, что учет фактического закона распределения предела текучести (12) увеличивает вероятность отказа по сравнению с данными, полученными при использовании нормального закона, для трубы Харцызского ТЗ в восемь раз, Челябинского ТПЗ – в три раза. Подобный результат для другого участка магистрального газопровода получен в работе [7].
Погрешность расчета вероятности отказа на основе функций (22), (23) составляет соответственно 2 и 7 %, в то же время они могут непосред-ственно использоваться для оценки надежности любых других изделий из стали данного типа.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе квантильных значений случайной величины разработан алгоритм определения функции плотности ее распределения в виде конечного тригонометрического ряда. В результате его реализации на основе обработки экспериментальных данных о разрушении образцов, изготовленных из сталей марки 17Г1С Харцызского ТЗ и Челябинского ТПЗ, для функций плотности распределения предела текучести получены конечные выражения (22), (23).
В качестве примера проведен расчет величины вероятности отказа участка газопровода, напряжения в трубе которого в процессе эксплуатации нормальному закону не подчиняются и восстановлены методами непараметрической статистики. Показано, что использование для предела текучести фактических законов его распределения повышает рассчитанную вероятность отказа более чем в три раза для трубы Челябин-ского ТПЗ и до восьми раз – для трубы Харцызского ТЗ.
Достоверность полученных выражений, описывающих функции плотности распределения предела текучести, подтверждается согласованностью результатов расчета вероятности отказов газопровода с использованием фактических законов распределения предела текучести, восстановленных методами непараметрической статистики.
СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
List of symbols
αj, j = – заданные значения квантилей, число которых M
set values of quantiles whose number is M
λj, j = – коэффициенты разложения тригонометрического ряда
trigonometric series expansion coefficients
σ (МПа) (MPa) – напряжения в трубе газопровода, возникающие в процессе его эксплуатации
stresses in the gas pipeline during its operation
σi, i = – выборка длиной m напряжений σ
σ stresses selection of m length
σmin, σmax (МПа) (MPa) – минимальная и максимальная величина напряжений σ
minimum and maximum stresses
σT (МПа) (MPa) – предел текучести
yield point
T (МПа) (MPa) – среднее значение предела текучести
mean yield point
φj(t) – тригонометрическая функция
trigonometric function
Ax, Bx (МПа) (MPa) – минимальная и максимальная величина xi
minimum and maximum xi
F(x) – функция плотности случайной величины x
the density function of x random variable
Fσ = fσ(σ)dσ
FM(x) – функция плотности случайной величины x в виде конечного ряда
the density function of x random variable as a finite series
Fs = fs(s)ds
f(x) – функция плотности распределения случайной величины x
the density function of x random variable distribution
fσ(σ) – функция плотности распределения напряжений σ
the density function of σ stresses distribution
fσT(σT) – функция плотности распределения предела текучести (в виде оценки Парзена – Розенблатта)
the density function of yield point distribution (as a Parzen–Rosenblatt estimate)
fM(σT) – функция плотности распределения предела текучести (в виде конечного тригонометрического ряда)
the density function of yield point distribution (as a finite trigonometric series)
fM(t) – оценка в виде конечного тригонометрического ряда неизвестной функции плотности распределения случайной величины t
estimate of the unknown density function of t random variable distribution as a finite trigonometric series
fM(x) – оценка в виде конечного тригонометрического ряда неизвестной функции плотности распределения случайной величины x
estimate of the unknown density function of x random variable distribution as a finite trigonometric series
fs(s) – функция плотности распределения напряжений s
density function of s stresses distribution
hn – ширина окна Парзена – Розенблатта
Parzen–Rosenblatt window width
hn* – оптимальное значение параметра hn
optimal hn parameter value
i – номер случайной величины в выборке ее значений
number of a random variable in the selection of its values
J – информационный функционал, максимум которого соответствует оптимальной величине hn*
informational functional whose maximum corresponds to the optimal hn*
j – номер случайной величины в выборке ее значений
number of a random variable in the selection of its values
K(·) – ядерная функция
kernel function
M – число членов разложения тригонометрического ряда
number of expansion terms of trigonometric series
M * – число членов разложения, соответствующее минимуму функционала эмпирического риска
number of expansion terms corresponding to the minimum of the empirical risk functional
n – длина выборки
selection length
Pi , i = (МПа) (MPa) – выборка давлений в газопроводе (i = 1, 2,…, 364)
selection of pressures in the gas pipeline (i = 1, 2,…, 364)
Q – вероятность отказа трубопровода
probability of pipeline failure
R – вероятность безотказной работы трубопровода
probability of pipeline survival
SσT (МПа) (MPa) – среднеквадратическое отклонение предела текучести
mean square deviation of the yield point
Ss (МПа) (MPa) – среднеквадратическое отклонение напряжения s
mean square deviation of s stress
SF = fM(x)dx – корректирующий множитель
correction factor
s (МПа) (MPa) – предельные напряжения, отражающие механические свойства материала трубы
ultimate stresses reflecting the mechanical properties of the pipe material
(МПа) (MPa) – среднее значение напряжений s
mean s stress
sj, j = – выборка длиной k напряжений s
s stresses selection of k length
smin, smax (МПа) (MPa) – минимальная и максимальная величина напряжений s
minimum and maximum s stresses
Ti , i = (ºС) – выборка температуры трубопровода
pipeline temperature selection
t = – случайная величина с выборкой ti ,
i = длиной n
random variable with ti selection, i = of n length
ti – случайное значение величины t
random t
tαj – квантильные значения случайной величины t
quantiles of t random variable
x – случайная величина с выборкой xi , i = длиной n
random variable with xi selection, i = of n length
xαj, j = (МПа) (MPa) – значения квантилей случайной величины x
quantiles of x random variable
xi – случайное значение величины x
random x
xj – случайное значение величины x
random x
Результаты расчета вероятности отказа участка трубопроводаCalculation results for the probability of pipeline section failure
|
Изготовитель
Manufacturer
|
fs(s)
|
Вероятность отказа
Probability of failure
|
|
Харцызский ТЗ
Khartsyzsk Pipe Plant
|
Нормальный закон
Normal law
|
0,001 13
|
|
(12)
|
0,008 77
|
|
(22)
|
0,008 56
|
|
Челябинский ТПЗ
Chelyabinsk Pipe Plant
|
Нормальный закон
Normal law
|
0,012 33
|
|
(12)
|
0,043 55
|
|
(22)
|
0,046 64
|
+7 495 240-54-57
info@neftegas.info
